4.4 ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล

4.4 ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล
ฟังก์ชันนั้นมีอยู่หลายรูปแบบ แต่ละแบบก็มีการตั้งชื่อไม่เหมือนกัน ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลก็เป็นอีกรูปแบบหนึ่งของฟังก์ชันซึ่งเราจะไปดูว่าฟังก์ชันเอกซ์โพนเนนเชียลนั้นมีรูปแบบอย่างไร ก็ต้องไปดูนิยามของมันครับ ว่านิยามของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลนั้นเป็นอย่างไร อ่านเพิ่มเติม

4.3 ฟังก์ชันกำลังสอง

4.3 ฟังก์ชันกำลังสอง
ฟังก์ชันกำลังสอง  คือ  ฟังก์ชันที่อยู่ในรูป  เมื่อ  a,b,c  เป็นจำนวนจริงใดๆ  และ ลักษณะของกราฟของฟังก์ชันนี้ขึ้นอยู่กับค่าของ  a , b  และ  c  และเมื่อค่าของ  a  เป็นบวกหรือลบ  จะทำให้ได้กราฟเป็นเส้นโค้งหงายหรือคว่ำ อ่านเพิ่มเติม

4.2 ฟังก์ชันเชิงเส้น

4.2 ฟังก์ชันเชิงเส้น

ในคณิตศาสตร์ขั้นสูง ฟังก์ชันเชิงเส้น หมายถึง ฟังก์ชันที่เป็น ฟังก์ชันเชิงเส้น มักหมายถึง คณิตศาสตร์ ที่เป็น การสายเส้นตรง ระหว่างสองกลุ่มเวกเตอร์

ตัวอย่าง ถ้า ${\displaystyle x}$ และ ${\displaystyle f(x)}$ คือ เวกเตอร์ตัวประสาน ฟังก์ชันเชิงเส้นจะเป็นบรรดาฟังก์ชัน ที่แสดงได้ในรูปร่าง

${\displaystyle f(x)=\mathrm {M} x}$, โดยที่ M คือ เมตริก

ฟังก์ชัน ${\displaystyle f(x)=mx+b}$ จะเป็น การสายเส้นตรง ก็ต่อเมื่อ ${\displaystyle b=0}$ เท่านั้น อ่านเพิ่มเติม

4.1 ความสัมพันธ์เเละฟังก์ชัน

4.1 ความสัมพันธ์เเละฟังก์ชัน

คู่อันดับ (Order Pair) เป็นการจับคู่สิ่งของโดยถือลำดับเป็นสำคัญ เช่น คู่อันดับ a, b จะเขียนแทนด้วย (a, b) เรียก a ว่าเป็นสมาชิกตัวหน้า และเรียก b ว่าเป็นสมาชิกตัวหลัง

(การเท่ากับของคู่อันดับ) (a, b) = (c, d) ก็ต่อเมื่อ a = c และ b = d

ผลคูณคาร์ทีเชียน (Cartesian Product) ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต A และเซต B คือ เซตของคู่อันดับ (a, b) ทั้งหมด โดยที่ a เป็นสมาชิกของเซต A และ b เป็นสมาชิกของเซต B

สัญลักษณ์      ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต A และเซต B เขียนแทนด้วย A x B
หรือ เขียนในรูปเซตแบบบอกเงื่อนไขจะได้ว่า 
 อ่านเพิ่มเติม

3.3 สมบัติของจำนวนจริงเกี่ยวกับการบวกเเละการคูณ

3.3 สมบัติของจำนวนจริงเกี่ยวกับการบวกเเละการคูณ
สมบัติการบวกในระบบจำนวนจริง      กำหนด a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ 
    1. สมบัติปิดการบวก a + b เป็นจำนวนจริง
 
    2. สมบัติการสลับที่ของการบวก a + b = b + c
 
    3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มการบวก a + ( b + c) = ( a + b ) + c
 
    4. เอกลักษณ์การบวก 0 + a = a = a + 0
 
    นั่นคือ ในระบบจำนวนจริงจะมี 0 เป็นเอกลักษณ์การบวก
 
    5. อินเวอร์สการบวก a + ( -a ) = 0 = ( -a ) + a
 
    นั่นคือ ในระบบจำนวนจริง จำนวน a จะมี -a เป็นอินเวอร์สของการบวก อ่านเพิ่มเติม

3.2 จำนวนจริง

3.2 จำนวนจริง

มีหลักเกณฑ์ในการแบ่งจำนวนจริงอยู่หลายเกณฑ์ เช่น จำนวนตรรกยะ หรือ จำนวนอตรรกยะ; จำนวนพีชคณิต (algebraic number) หรือ จำนวนอดิศัย; และ จำนวนบวก จำนวนลบ หรือ ศูนย์

จำนวนจริงแทนปริมาณที่ต่อเนื่องกัน โดยทฤษฎีอาจแทนได้ด้วยทศนิยมไม่รู้จบ และมักจะเขียนในรูปเช่น 324.823211247… จุดสามจุด ระบุว่ายังมีหลักต่อ ๆ ไปอีก ไม่ว่าจะยาวเพียงใดก็ตาม

การวัดในวิทยาศาสตร์กายภาพเกือบทั้งหมดจะเป็นการประมาณค่าสู่จำนวนจริง การเขียนในรูปทศนิยม (ซึ่งเป็นจำนวนตรรกยะที่สามารถเขียนเป็นอัตราส่วนที่มีตัวส่วนชัดเจน) ไม่เพียงแต่ทำให้กระชับ แต่ยังทำให้สามารถเข้าใจถึงจำนวนจริงที่แทนได้ในระดับหนึ่งอีกด้วย อ่านเพิ่มเติม

2.2 การให้เหตุผลเเบบนิรนัย

2.2 การให้เหตุผลเเบบนิรนัย

การให้เหตุผลแบบนิรนัย (อังกฤษ: Deductive reasoning) หรือ การให้เหตุผลจากบนลงล่าง (อังกฤษ: top-down logic) เป็นการนำความรู้พื้นฐานซึ่งอาจเป็นกฎ ข้อตกลง ความเชื่อ หรือบทนิยาม ซึ่งเป็นสิ่งที่รู้มาก่อน และยอมรับว่าเป็นความจริงเพื่อหาเหตุผลนำไปสู่ข้อสรุป เป็นการอ้างเหตุผลที่มีข้อสรุปตามเนื้อหาสาระที่อยู่ภายในขอบเขตของข้ออ้างที่กำหนด อ่านเพิ่มเติม

2.1 การให้เหตุเเบบอุปนัย

2.1 การให้เหตุเเบบอุปนัย

การให้เหตุผลแบบอุปนัย (อังกฤษ: Inductive reasoning) หรือ การให้เหตุผลจากล่างขึ้นบน (อังกฤษ: bottom-up logic) เป็นวิธีการสรุปผลมาจากการค้นหาความจริงจากการสังเกตหรือการทดลองหลายครั้ง แล้วนำมาสรุปเป็นความรู้แบบทั่วไป อ่านเพิ่มเติม

1.4 ยูเนียน อินเตอร์เซกขันเเละคอมพลีเมนต์ของเชต

    1.4  ยูเนียน อินเตอร์เซกขันเเละคอมพลีเมนต์ของเชต

ยูเนียน (Union)

ยูเนียน (Union) มีนิยามว่า เซต A ยูเนียนกับเซต B คือเซตซึ่งประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของเซต A หรือ เซต B หรือทั้ง A และ B สามารถเขียนแทนได้ด้วย สัญลักษณ์ A ∪ B

อินเตอร์เซกชัน (Intersection)

อินเตอร์เซกชัน (Intersection) มีนิยามคือ เซต A อินเตอร์เซกชันเซต B คือ เซตซึ่งประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของเซต A และเซต B สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ A ∩ B

คอมพลีเมนต์ (Complements)

คอมพลีเมนต์ (Complements) มีนิยามคือ ถ้าเซต A ใดๆ ในเอกภพสัมพัทธ์ U แล้วคอมพลีเมนต์ของเซต A คือ เซตที่ประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของ U แต่ไม่เป็นสมาชิกของ A สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ A’ อ่านเพิ่มเติม

1.3 สับเซตเเละเพาเวอร์เซต

1.3 สับเซตเเละเพาเวอร์เซต

สับเซต (Subset)

ถ้าสมาชิกทุกตัวของ A เป็นสมาชิกของ B แล้ว จะเรียกว่า A เป็นสับเซตของ B จะเขียนว่า
เซต A เป็นสับเซตของเซต B แทนด้วย A ⊂ B

ถ้าสมาชิกบางตัวของ A ไม่เป็นสมาชิกของ B จะเรียกว่า A ไม่เป็นสับเซตของ B
เซต A ไม่เป็นสับเซตของเซต B แทนด้วย A ⊄ B

เพาเวอร์เซต (Power Set)

คำว่า เพาเวอร์เซต เป็นคำศัพท์เฉพาะ ซึ่งใช้เป็นชื่อเรียกเซตเซตหนึ่งที่เกี่ยวข้องกับเรื่องสับเซต

เพาเวอร์เซตของ A เขียนแทนด้วย P(A)

P(A) คือเซตที่มีสับเซตทั้งหมดของ A เป็นสมาชิก อ่านเพิ่มเติม

1.2 เอกภพสัมพัทธ์

1.2 เอกภพสัมพัทธ์

เอกภพสัมพัทธ์ คือ เซตที่กำหนดขอบเขตของสิ่งที่ต้องการศึกษา ซึ่งถือว่าเป็นเซตที่ใหญ่ที่สุด โดยมีข้อตกลงว่า ต่อไปจะกล่าวถึงสมาชิกของเซตนี้เท่านั้น จะไม่มีการกล่าวถึงสิ่งใดที่นอกเหนือไปจากสมาชิกของเซตที่กำหนดขึ้นนี้ โดยทั่วไปนิยมใช้สัญลักษณ์ U แทนเอกภพสัมพัทธ์ อ่านเพิ่มเติม

1.1 เซต

1.1 เซต

ซตว่าง (Empty Set)	คือ เซตที่ไม่มีสมาชิกเลย เขียนแทนด้วย { } หรือ  (phi) เช่น  เซตของจำนวนเต็มที่อยู่ระหว่าง 1 กัน 2  เซตของสระในคำว่า "อรวรรณ"
เซตจำกัด (Finite Set)	คือ เซตที่มีจำนวนสมาชิกเท่ากับจำนวนเต็มบวก หรือ ศูนย์ เช่น   มีจำนวนสมาชิกเป็น 0  {1, 2, 3, ...,100} มีจำนวนสมาชิกเป็น 100
เซตอนันต์ (Infinite Set)	คือ เซตที่ไม่ใช่เซตจำกัด ไม่สามารถบอกจำนวนสมาชิกได้ เช่น  เซตของจำนวนเต็มบวก {1, 2, 3, ...}  เซตของจุดบนระนาบ อ่านเพิ่มเติม